Introduction

Le dimensionnement d’une dalle en béton armé ne se limite pas au calcul des déplacements ou des efforts internes. Pour être exploitable en bureau d’études, la chaîne de calcul doit permettre de passer du modèle éléments finis au dimensionnement du ferraillage selon l’Eurocode 2.

Objectif

Ce benchmark présente le dimensionnement du ferraillage d’une dalle en béton armé à l’aide d’une chaîne de calcul mise en œuvre avec code_aster.

La géométrie et les chargements du cas de référence sont définis de manière à faciliter l’interprétation et la vérification des résultats. La chaîne de calcul reste représentative d’un processus applicable à des modèles de génie civil plus complexes.

La démarche suivie est la suivante :

• Créer un modèle plaque de la dalle ;
• Affecter les caractéristiques mécaniques et géométriques ;
• Appliquer les charges permanentes et d’exploitation ;
• Calculer les efforts internes dans les plaques ;
• Calculer le ferraillage selon l’Eurocode 2 ;
• Comparer les sections d’armatures obtenues avec celles calculées avec une feuille Excel selon l’Eurocode 2, pour une bande de dalle de 1 m de largeur.

Présentation du modèle éléments finis

La dalle étudiée est une plaque rectangulaire de 10 m × 5 m, modélisée dans le plan XY. L’épaisseur retenue est de 50 cm. Le maillage généré dans Salomé est réalisé avec un pas de maillage de 0,50 m.

Les principales caractéristiques du modèle sont les suivantes.

Paramètre	Valeur utilisée
Longueur suivant X	10 m
Largeur suivant Y	5 m
Épaisseur	0,50 m
Type d’élément	Plaque DKT
Élément fini	QUAD4
Pas de maillage	0,50 m

Dans le fichier de commande, la mise en place du modèle éléments finis suit les étapes suivantes :

• Le maillage MED est lu avec LIRE_MAILLAGE ;
• Le modèle mécanique est créé avec AFFE_MODELE, en affectant au groupe "slab" la modélisation de plaque DKT ;
• Les caractéristiques de plaque sont définies avec AFFE_CARA_ELEM, en imposant une épaisseur de 0,50 m ;
• Les propriétés mécaniques du béton sont définies avec DEFI_MATERIAU, puis affectées à la dalle avec AFFE_MATERIAU ;
• Les conditions aux limites sont appliquées avec AFFE_CHAR_MECA.

Les deux lignes d’appui sont définies par les groupes de nœuds "B0X_nodes" et "B1X_nodes", situés sur les bords extrêmes de la dalle, aux abscisses $(X = 0\,\text{m})$ et $(X = 10\,\text{m})$. Elles sont modélisées comme des appuis fixes en translation : les trois degrés de liberté de translation DX, DY et DZ sont bloqués, tandis que les rotations restent libres.

Hypothèses de calcul

Le matériau affecté au modèle éléments finis est un béton C30/37. Les paramètres utilisés pour le calcul mécanique sont les suivants.

Grandeur	Valeur
Module d’Young du béton	30 GPa
Coefficient de Poisson	0,20
Masse volumique	2500 kg/m³

Le tableau suivant présente les principales hypothèses retenues pour le calcul des sections d’armatures à l’ELU conformément à l’Eurocode 2.

Paramètre EC2	Valeur
Béton	C30/37
Résistance caractéristique du béton $f_{ck}$	30 MPa
Acier	B500B
Limite élastique caractéristique de l’acier $f_{yk}$	500 MPa
Module d’Young de l’acier $E_s$	210 GPa
Distance de calcul à la nappe inférieure $c_\mathrm{inf}$ (C_INF)	4 cm
Distance de calcul à la nappe supérieure $c_\mathrm{sup}$ (C_SUP)	4 cm
Coefficient partiel béton à l’ELU $\gamma_c$	1,50
Coefficient partiel acier à l’ELU $\gamma_s$	1,15
Ferraillage minimal	Paramétrage EC2 du calcul

Les valeurs $c_\text{inf}$ et $c_\text{sup}$, renseignées dans code_aster avec C_INF et C_SUP, doivent être lues comme des paramètres de positionnement des nappes d’armatures dans le calcul de ferraillage. Dans une étude d’exécution, elles doivent être mises en cohérence avec l’enrobage nominal, le diamètre des barres et la position réelle du centre de gravité des nappes.

Chargements et combinaison à l’ELU

Deux sollicitations sont prises en compte :

• Le poids propre de la dalle ;
• La charge d’exploitation surfacique prise égale à 5,0 kN/m².

La combinaison ELU fondamentale est appliquée directement dans le fichier de commande :

$$\mathrm{ELU} = 1{,}35\,G + 1{,}50\,Q$$

Le poids propre de la dalle est calculé à partir de la masse volumique du béton et de l’épaisseur de la plaque :

$$G = \rho\,g\,h = 2500 \times 0{,}50 \times 9{,}81 \approx 12{,}26\ \mathrm{kN/m^2}$$

Après pondération, la contribution du poids propre est égale à 16,55 kN/m² et celle de la charge d’exploitation à 7,50 kN/m². La charge surfacique de calcul vaut donc :

$$q_{Ed} \approx 24{,}05\ \mathrm{kN/m^2}$$

Extraction des efforts internes dans les plaques

Le calcul mécanique est effectué avec MECA_STATIQUE dans code_aster. Le résultat est ensuite enrichi avec CALC_CHAMP afin d’obtenir le champ EFGE_ELNO, qui contient les efforts internes dans les plaques aux nœuds des éléments.

Le champ EFGE_ELNO regroupe les efforts internes dans les plaques : les efforts membranaires NXX, NYY et NXY, les moments de flexion et de torsion MXX, MYY et MXY, ainsi que les efforts tranchants QX et QY. Dans le cas étudié, la comparaison porte sur MXX, retenu pour le dimensionnement des armatures principales suivant X.

Les efforts membranaires sont par ailleurs nuls. La réponse mécanique de la dalle est donc essentiellement liée à sa flexion sous l’effet des charges verticales.

Pour la comparaison avec le calcul analytique et la feuille de calcul EC2, la valeur extrême de MXX est relevée à mi-travée pour la combinaison à l'ELU.

Grandeur	Valeur retenue	Interprétation
MXX	-303,09 kN·m/m	Moment fléchissant suivant X à mi-travée

Le signe de MXX dépend de la convention locale de la plaque, notamment de l’orientation de la normale et de la convention de signe des efforts internes.

Vérification du moment fléchissant

Le moment fléchissant obtenu avec code_aster est comparé au calcul analytique correspondant à une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie.

$$M_{Ed} \approx \frac{q_{Ed} L^2}{8} \approx \frac{24{,}05 \times 10^2}{8} \approx 300{,}6\ \mathrm{kN\cdot m/m}$$

La comparaison est présentée ci-dessous.

Source	Moment de calcul
Estimation analytique $qL^2/8$	≈ 300,6 kN·m/m
Carte post-traitée de MXX	303,09 kN·m/m

L’écart relatif entre les deux valeurs est égal à :

$$\varepsilon_M =\frac{\left|303{,}09-300{,}6\right|}{300{,}6}\times100 \approx0{,}83\ \%$$

L’écart relatif entre les deux résultats est de 0,83 %. La valeur de MXX issue du modèle éléments finis est validée pour le calcul des sections d’armatures.

Calcul du ferraillage avec code_aster

Le calcul du ferraillage est réalisé à partir des efforts internes déterminés précédemment dans les plaques. La commande CALC_FERRAILLAGE utilise le résultat mécanique, les caractéristiques géométriques de la plaque et les hypothèses réglementaires pour déterminer les sections d’armatures par unité de largeur nécessaires selon l’Eurocode 2.

Le résultat est produit sous la forme d’un champ FERR_ELEM.

Les principales composantes exploitées sont :

Composante FERR_ELEM	Signification pratique
DNSXI	Densité d’armatures en nappe inférieure, direction X
DNSXS	Densité d’armatures en nappe supérieure, direction X
DNSYI	Densité d’armatures en nappe inférieure, direction Y
DNSYS	Densité d’armatures en nappe supérieure, direction Y
DNSXT, DNSYT	Contributions transversales associées au cisaillement, nulles dans cette sortie
DNSVOL	Indicateur volumique associé au ferraillage calculé
CONSTRUC	Indicateur de complexité ou de densité relative de ferraillage

Cette étape assure la continuité entre le calcul mécanique et le dimensionnement du ferraillage. Au lieu d’exporter manuellement les efforts internes de chaque élément de plaque puis de les retraiter dans un tableur, code_aster produit directement un champ de sections d’armatures. Avec l’option FERR_MIN = "EC2", le ferraillage minimal réglementaire est également calculé et intégré au champ FERR_ELEM. La carte obtenue représente donc les sections d’armatures retenues après prise en compte de ce minimum : dans les zones où le ferraillage calculé à partir des sollicitations est inférieur au minimum réglementaire, la valeur affichée correspond au ferraillage minimal calculé par code_aster.

Résultats obtenus

La nappe dimensionnante est la nappe inférieure en direction X, représentée par la composante DNSXI. La valeur maximale lue sur la carte de ferraillage vaut :

$$DNSXI_{\max} = 14{,}94\ \mathrm{cm^2/ml}$$

La carte de DNSXI présente des valeurs comprises entre 5,98 cm²/ml, correspondant au minimum appliqué dans les zones faiblement sollicitées, et 14,94 cm²/ml dans la zone dimensionnante à mi-travée.

Les valeurs maximales de DNSXI sont localisées à mi-travée. Cette localisation est cohérente avec une dalle principalement fléchie sous charge verticale entre deux lignes d’appui situées aux extrémités de la portée.

La feuille Excel EC2 donne, pour une section de 1 m de largeur avec un moment fléchissant de 303,09 kN·m, une section d’acier tendu :

$$A_s = 14{,}94\ \mathrm{cm^2}$$

Méthode	Section d’armatures inférieures suivant X
code_aster — DNSXI maximale	14,94 cm²/ml
Feuille de calcul EC2	14,94 cm²/ml
Écart relatif	0,00 %

Avec le même moment de calcul et les mêmes hypothèses, code_aster et la feuille de calcul EC2 conduisent à la même section d’armatures.

Intérêt de l’approche open source avec code_aster

Ce benchmark montre que code_aster ne se limite pas au calcul des déplacements et des efforts internes dans les plaques. Dans une chaîne de calcul de structure en béton armé, il peut également prendre en charge le dimensionnement réglementaire des sections d’armatures et produire un champ de ferraillage.

L’approche répond aux besoins des bureaux d’études qui souhaitent :

• Conserver une chaîne de calcul scriptée et auditable ;
• Réduire les exports manuels d’efforts internes dans les plaques vers des feuilles de calcul ;
• Automatiser les vérifications répétitives sur des modèles complexes ;
• Fiabiliser la traçabilité entre hypothèses, chargements, efforts et ferraillage.

Le caractère open source de code_aster présente également un avantage méthodologique. Le fichier .comm constitue un support exécutable et versionnable qui regroupe les hypothèses, les charges, les combinaisons, les paramètres EC2 et les sorties attendues. Cette organisation facilite la revue technique, la capitalisation interne et l’adaptation de la chaîne de calcul à d’autres cas d’étude.

Ce type de benchmark permet d’examiner la cohérence de la chaîne de calcul avant de l’appliquer à des modèles plus complexes.

Conclusion

Ce benchmark présente une chaîne de calcul complète pour une dalle en béton armé avec code_aster : modélisation éléments finis, chargement à l’ELU, extraction des efforts internes dans les plaques, calcul des sections d’armatures et comparaison avec une feuille Excel selon l'EC2.

La nappe inférieure en direction X atteint 14,94 cm²/ml dans code_aster. La feuille Excel EC2 donne également 14,94 cm²/ml pour la même bande de dalle de 1 m. Cet écart nul permet de valider une chaîne de calcul complète pour le dimensionnement des armatures avec code_aster.

Au-delà du résultat numérique, code_aster permet de construire une chaîne ouverte, scriptée, traçable et extensible, reliant les efforts internes dans les plaques issus du modèle éléments finis au dimensionnement du ferraillage.

Pour des études de génie civil, cette approche permet d’automatiser et de capitaliser les procédures de calcul tout en limitant les traitements manuels dispersés.

Le benchmark est réalisé ici à l’ELU. La suite naturelle consiste à déployer la même logique aux vérifications à l’ELS, afin de couvrir non seulement la résistance ultime, mais aussi les critères de service indispensables au dimensionnement complet d’une dalle en béton armé.

Références

• NF EN 1990 et annexe nationale — Eurocode 0 : bases de calcul des structures.
• NF EN 1991-1-1 et annexe nationale — Eurocode 1 : actions sur les structures — Poids volumiques, poids propres et charges d’exploitation des bâtiments.
• NF EN 1992-1-1 et annexe nationale — Eurocode 2 : calcul des structures en béton — Règles générales et règles pour les bâtiments.
• Documentation officielle code_aster v17 relative aux commandes AFFE_MODELE, AFFE_CARA_ELEM, MECA_STATIQUE, CALC_CHAMP et CALC_FERRAILLAGE.