Dans cet article, nous voulons mettre en évidence que tout code de mécanique des solides ou des fluides part de l’équation de quantité de mouvement de Cauchy (ou bilan de Cauchy). Après avoir dérivé l’équation directement à partir de la 2e loi de Newton, nous expliquerons brièvement comment elle est utilisée dans code_aster, code_saturne et openTELEMAC. Nous fournirons davantage de détails directement dans les articles liés à ces physiques.

Dérivation à partir de la 2e loi de Newton

Dans la suite, nous n’écrirons pas explicitement le temps, mais l’accélération, les forces et le tenseur peuvent en dépendre.

Mécanique ponctuelle, référentiels

Commençons par la célèbre loi de Newton, également appelée le « principe fondamental de la dynamique ». Lorsqu’on pousse ou qu’on tire un objet ponctuel de masse m sous une intensité et une direction spécifiques décrites par un vecteur $\vec{F}$, sa vitesse change. Nous définissons l’accélération $\vec{a}$ comme la grandeur exprimant l'importance des variations de la vitesse. La 2e loi de Newton établit un lien entre l’accélération et l’ensemble des forces $\vec{F_\mathcal{S}}$ agissant sur un système ponctuel :

$$\begin{equation} m \vec{a}= \sum \limits_\mathcal{S} \vec{F_\mathcal{S}} \end{equation}$$

Il est crucial de comprendre que cette loi n’est valable que dans un référentiel inertiel. En effet, pour étudier un mouvement, nous avons besoin d’un référentiel. Un référentiel, c’est un peu plus qu’un simple choix d’origine spatiale. On peut le voir comme une manière d’exprimer les vitesses d’un système en chaque point de l’espace, étant donnée une origine. À cet égard, un référentiel n’est pas exactement la même chose qu’un observateur. Néanmoins, on peut utiliser l'analogie de l’observateur pour fournir une intuition sur les référentiels : pour un observateur immobile près d’une autoroute, les voitures avancent. Mais du point de vue de la voiture, l’observateur recule. Toujours du point de vue de la voiture, les autres voitures se déplaçant à la même vitesse paraissent immobiles. Cela montre pourquoi un référentiel est plus qu’un simple choix d’origine pour l’espace : il définit la manière dont les vitesses vont être exprimées. Dans un référentiel au mouvement arbitraire, les objets peuvent avoir des vitesses variant de manière arbitraire : cela peut introduire des « forces fictives » qui n’existent que pour représenter le mouvement arbitraire du référentiel.

Ainsi, la 2e loi de Newton est généralement considérée dans des référentiels dit inertiels (ou galiléens) : ce sont des référentiels dans lesquels une particule libre se déplace à vitesse constante (ou nulle) le long d’une ligne droite. Si nous n’utilisions pas de tels référentiels, des forces fictives supplémentaires devrontt être prises en compte.

Extension à des systèmes volumiques

Maintenant, disons que nous voulons considérer un système volumique. Nous cessons alors de modéliser la voiture comme une masse ponctuelle et la décrivons à la place comme un corps occupant un volume fini. Nous appellerons $\Omega$ la forme de notre système (la voiture par exemple). Comme nous voulons une description plus précise du système, au lieu de considérer simplement la masse totale m, nous introduisons la densité $\rho(\vec{r})$ telle que

$$\begin{equation} m = \int \limits_\Omega \rho(\vec{r}) d^3\vec{r} \end{equation}$$

Dans cette équation, $\vec{r}$ est le vecteur position. Nous ne précisons pas explicitement dans quel système de coordonnées nous l’exprimons (le lecteur doit noter que le volume infinitésimal $d^3\vec{r}$ peut avoir une expression différente selon celui-ci).

De manière similaire, nous pouvons donc définir une « densité de force » volumique dans la limite continue $\vec{f}(\vec r)$ telle que la résultante des forces volumiques agissant sur le volume $\Omega$ soit

$$\begin{equation} \vec F_{\text{body}}=\int_\Omega \vec f(\vec r)\,d^3r \end{equation}$$

Cependant, si nous voulons réellement considérer un système volumique, nous devons être prudents à ce stade. Toutes les forces appliquées à une voiture ne sont pas des densités de force. En effet, une densité de force serait une « action de poussée ou de traction » qui s’applique à n’importe quelle partie volumique de la voiture. Cela décrit bien l’effet de la gravité $\vec{f_g}=\rho(\vec{r}) \vec{g}$. Mais ce n’est certainement pas une bonne description d’une voiture qui entre en collision avec un mur ! Quand on pousse une voiture, on applique une force sur la surface de la voiture, pas sur tout son volume ! Nous avons donc besoin d’un moyen de décrire les forces surfaciques.

Le tenseur des contraintes de Cauchy

Il existe plusieurs façons d’appliquer une force sur une surface. On peut simplement pousser ou tirer l’objet : cela signifie appliquer une force normale à la surface. Mais il est aussi tout à fait possible d’utiliser le frottement pour appliquer une force parallèle à la surface. Par exemple, lorsque nous appuyons nos mains contre une fenêtre pour la faire glisser. Ainsi, pour toute surface de notre voiture, nous avons besoin d’un moyen de stocker l’information des forces normales ET tangentielles à la paroi ainsi que la façon dont ces composantes dépendent de l’orientation de la surface. C’est ce qu’on appelle un tenseur. Dans le cas des forces surfaciques, nous introduisons le tenseur des contraintes de Cauchy $\vec{\vec{\sigma}}$ comme :

$$\begin{equation} \vec{\vec{\sigma}} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{pmatrix} \end{equation}$$

Si nous considérons un cube en coordonnées cartésiennes, chaque colonne de ce tenseur représente la manière dont les forces sont appliquées sur ses faces. Plus précisément, le vecteur $\vec{\vec{\sigma}} \cdot \vec{n}$ représente la force par unité de surface (traction) exercée par le matériau extérieur au volume $\Omega$ sur la surface, où n est la normale sortante à la surface. Les composantes diagonales $\sigma_{ii}$ représentent les contraintes normales (force perpendiculaire à la surface), et les composantes hors diagonale $\sigma_{ij}$ ($i \neq j$) représentent les contraintes de cisaillement (force parallèle à la surface). Ainsi, l’expression générale d’une force surfacique sur la surface du système (notée $\partial \Omega$) est

$$\begin{equation} \vec{F}_{surf} = \oint \limits_{\partial \Omega} \vec{\vec{\sigma}}(\vec{r}) \cdot \vec{n} d^2r \end{equation}$$

Ici encore, le tenseur des contraintes de Cauchy peut (et presque toujours va) dépendre de la position. L’intégrale ci-dessus signifie que la surface considérée est une surface fermée, correspondant à la surface $\partial \Omega$ du volume $\Omega$. Nous avons considéré la contraction du tenseur des contraintes de Cauchy avec $\vec{n}$, qui est défini comme un vecteur pointant toujours vers l’extérieur de la surface. Le résultat de ce produit scalaire est simplement les 3 contraintes appliquées localement sur la surface (la contrainte normale et les deux contraintes de cisaillement). Comme nous effectuons l’intégrale sur la surface fermée dans son entièreté, nous obtenons dimensionnellement une force (plus précisément, la résultante de toutes les forces surfaciques sur $\Omega$). Si nous réécrivons la 2e loi de Newton en utilisant les eq. (2), (3) et (4), nous obtenons alors :

$$\begin{equation} \int \limits_\Omega \rho(\vec{r}) \vec{a} d^3r = \left( \int \limits_\Omega \vec{f}(\vec{r})d^3r + \oint \limits_{\partial \Omega} \vec{\vec{\sigma}}(\vec{r}) \cdot \vec{n}d^2r \right) \end{equation}$$

Finalement, cette équation est souvent réécrite après utilisation du théorème de la divergence (également appelé théorème de Green-Ostrogradski) :

$$\begin{equation} \oint \limits_{\partial \Omega} \vec{\vec{\sigma}}(\vec{r}) \cdot \vec{n} d^2 r = \int \limits_\Omega \vec{\nabla} \cdot \vec{\vec{\sigma}}(\vec{r}) d^3r \end{equation}$$

Cela conduit à la forme bien connue de l’équation de Cauchy :

$$\begin{equation} \int \limits_\Omega \rho(\vec{r}) \vec{a} d^3r = \int \limits_\Omega \left(\vec{f}(\vec{r}) + \vec{\nabla} \cdot \vec{\vec{\sigma}}(\vec{r})\right) d^3r \end{equation}$$

Notons enfin que cette équation est valable pour tout volume $\Omega$. Cela pourrait être une voiture, un océan ou un gaz, elle fonctionnerait toujours ! Donc, puisque l’équation est valable pour tout sous-volume, les intégrandes doivent être égaux point par point. Cela conduit à la forme locale du bilan de quantité de mouvement de Cauchy :

$$\begin{equation} \boxed{\rho(\vec{r}) \vec{a} = \vec{f}(\vec{r}) + \vec{\nabla} \cdot \vec{\vec{\sigma}}(\vec{r})} \end{equation}$$

Descriptions lagrangienne, eulérienne

Pour conclure, nous pouvons mentionner brièvement pourquoi cette équation est souvent écrite avec un terme supplémentaire. En mécanique des fluides, il est standard d’utiliser une description eulérienne, dans laquelle la vitesse est décrite comme un champ en des points fixes de l’espace, plutôt qu’une description lagrangienne, qui suit les particules matérielles le long de leurs trajectoires. Dans un tel référentiel fixe, la vitesse devient une fonction de la position :

$$\begin{equation} \vec{v} \rightarrow \vec{v}(\vec{r},t) \end{equation}$$

Alors, la vitesse devient une fonction de deux variables : le temps et l’espace. L’accélération est définie comme la dérivée totale de la vitesse. Pour une fonction dépendant de plusieurs variables, la dérivée totale s’exprime à l’aide de la règle de la chaîne :

$$\begin{equation} \vec{a} = \frac{d}{dt} \vec{v}(\vec{r},t) = \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \sum \limits_{i=1}^3 \frac{\partial \vec{v}}{\partial r_i} \frac{\partial r_i}{\partial t} = \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \vec{\nabla}) \vec{v} \end{equation}$$

Cela conduit finalement à l’équation de Cauchy dans la description eulérienne :

$$\begin{equation} \boxed{\rho(\vec{r})\left(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \vec{\nabla})\vec{v} \right) = \vec{f}(\vec{r}) + \vec{\nabla} \cdot \vec{\vec{\sigma}}(\vec{r})} \end{equation}$$

Cette équation est le point de départ de code_aster, code_saturne, openTELEMAC et des solveurs numériques en mécanique.

Fluide, solide, ondes... Une équation très générale

L’eq. (13) est extrêmement générale, et fournit le point de départ d’un très large éventail de modèles mécaniques dans le cadre des milieux continus. La généralité de l’équation de quantité de mouvement de Cauchy vient en grande partie de sa nature géométrique. Dans les présentations d’ingénierie standard, cela apparaît à travers le calcul vectoriel et tensoriel ; dans une formulation plus avancée, ces objets sont naturellement interprétés à l’aide de la géométrie différentielle sur l’espace ambiant.

Plus précisément, c’est la forme mathématique de ces équations qui est très générale. L’idée centrale derrière la 2e loi de Newton et l’équation de Cauchy est la conservation de la quantité de mouvement : « taux de variation de la quantité de mouvement (ici égale à "masse x vitesse") = force nette ». C’est aujourd’hui l’un des fondements les mieux établis de la physique moderne. De nombreuses autres lois de conservation peuvent être écrites en physique, même en mécanique. Par exemple, l’équation de conservation de la masse $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{\nabla} \cdot (\rho \vec{v}) = 0$. Toute équation aux dérivées partielles de la forme $\frac{\partial \psi}{\partial t} + \vec{\nabla} \cdot \vec{J} =0$ décrit la conservation de $\psi$ lorsqu’un flux $\vec{J}$ transporte $\psi$ à travers le système. L’équation de Cauchy met en jeu un vecteur conservé (la quantité de mouvement, $\vec{p}=\rho \vec{v}$) au lieu d’un scalaire comme la densité, et un tenseur $\vec{\vec{\sigma}}$ au lieu d’un flux vectoriel $\vec{J}$ pour décrire le transport de $\vec{p}$ à travers le système, mais elle a tout de même la forme générale d’une équation de conservation.

Des modèles spécialisés pour décrire divers comportements physiques sont ensuite injectés dans l’équation de Cauchy afin de décrire plus précisément un fluide, un solide, la matière en général... La question centrale pour considérer un comportement mécanique spécifique est alors : « comment puis-je exprimer mon tenseur des contraintes de Cauchy de manière précise ? ». Ci-dessous, nous passons en revue les exemples élémentaires de la mécanique des solides et des fluides.

Exemple de modèles en mécanique des solides

Le cas académique typique de la mécanique des solides est la loi de Hooke, utilisée pour décrire le comportement élastique. Pour les solides, nous voulons généralement relier les contraintes et les déformations (sans considérer les translations et les rotations sous l’action des contraintes). Exactement comme les contraintes, les déformations sont modélisées avec des tenseurs afin de décrire selon quelle direction la déformation se produit dans $\Omega$. Dans le cas de la loi de Hooke, nous modélisons l’élasticité en supposant que le tenseur local des contraintes de Cauchy $\vec{\vec{\sigma}}$ est proportionnel au tenseur local des petites déformations $\vec{\vec{\epsilon}}$ :

$$\begin{equation} \vec{\vec{\sigma}} = \lambda Tr(\vec{\vec{\epsilon}}) \ \vec{\vec{I}} + 2 \mu \vec{\vec{\epsilon}} \end{equation}$$

$\lambda$ et $\mu$ sont appelés les paramètres de Lamé, et explicitent comment le solide se déforme sous une contrainte imposée. La loi de Hooke comme d’autres lois de comportement feront l’objet de futurs articles sur la mécanique des solides.

De plus, l’hypothèse des petits déplacements est souvent utilisée pour négliger le terme eulérien $(\vec{v} \cdot \vec{\nabla})\vec{v}$. En effet, dans de nombreux problèmes de mécanique des solides, on travaille dans un cadre lagrangien et on linéarise autour d’une configuration de référence. Sous les hypothèses de petits déplacements et de petites déformations, le terme non linéaire d’accélération convective peut souvent être négligé.

Exemple de modèle en mécanique des fluides

En mécanique des fluides, le tenseur des contraintes n’est généralement pas relié directement à la déformation, mais plutôt au taux de déformation (dérivée temporelle du tenseur des déformations $\vec{\vec{\dot{\epsilon}}}$ ). L’hypothèse la plus courante est l’approximation du fluide newtonien, qui consiste à supposer que les contraintes sont proportionnelles aux taux de déformation avec une constante de proportionnalité appelée viscosité dynamique $\mu$ :

$$\begin{equation} \vec{\vec{\sigma}} = -p \vec{\vec{I}} + 2 \mu \vec{\vec{\dot{\epsilon}}} + \lambda (\vec{\nabla} \cdot \vec{v}) \ \vec{\vec{I}} \end{equation}$$

Cette approximation fait également intervenir $\lambda$, appelée seconde viscosité, qui devient non négligeable lorsque le fluide devient compressible ($\vec{\nabla} \cdot \vec{v} \neq 0$). Nous reviendrons sur cette loi dans les articles consacrés à la dynamique des fluides et à la rhéologie.

Le terme inertiel $(\vec{v} \cdot \vec{\nabla})\vec{v}$ peut devenir dominant dans le cas d’un nombre de Reynolds élevé. Lorsque le mouvement du fluide est très différent de son déplacement moyen dans le temps, cela peut même devenir la principale source de non-linéarités.

Et ensuite ?

Cet article a vocation à être le tout premier d’une série d’analyses approfondies sur la mécanique des solides, la mécanique des fluides, l’hydraulique environnementale et les méthodes numériques. Vous pouvez trouver la liste actuelle des articles sur notre site web.