Frettage avec code_aster : deux approches numériques pour retrouver le même état de contraintes

Introduction

Un assemblage fretté est généralement obtenu en chauffant le moyeu, en insérant l'arbre dans l'alésage dilaté, puis en laissant l'ensemble refroidir. Simuler toute cette séquence est possible, mais ce n'est pas toujours nécessaire lorsque l'objectif est uniquement de déterminer l'état de contraintes résiduel. Nous comparons ici deux manières plus directes d'introduire l'interférence dans un modèle code_aster : une interface initialement jointive avec un décalage de contact, et une géométrie initialement interpénétrée. Jusqu'où ces deux raccourcis sont-ils équivalents, et que représentent-ils réellement du procédé industriel ?

En bref

Deux modèles axisymétriques d'un même frettage arbre–moyeu ont été construits avec code_aster. Ils représentent les mêmes dimensions finales et partagent les mêmes matériaux, le même contact avec frottement et la même loi élastoplastique. Seule la configuration géométrique initiale et la manière d'introduire le serrage changent.

• Dans l'approche jointive, les surfaces de l'arbre et du moyeu coïncident initialement. L'interférence est imposée virtuellement dans la définition du contact.
• Dans l'approche interpénétrée, l'interférence est portée par la géométrie initiale : le rayon de l'alésage est inférieur au rayon de l'arbre.

Les deux modèles conduisent à des pressions de contact très proches : 52,25 et 52,55 MPa dans le domaine élastique, puis 256,39 et 257,39 MPa lorsque la plasticité apparaît. Les écarts sur la pression moyenne restent respectivement de 0,57 % et 0,39 %.

Cette concordance montre que, pour ce cas, les deux représentations numériques du serrage permettent de retrouver pratiquement le même état mécanique final.

Le frettage réel est d'abord un procédé thermique

Le principe du frettage consiste à assembler deux pièces dont les dimensions à température ambiante sont incompatibles. Le rayon de l'arbre est légèrement supérieur à celui de l'alésage. Un montage direct nécessiterait donc un effort important et risquerait d'endommager les surfaces.

Dans un procédé de frettage à chaud, la séquence est généralement la suivante :

1. 1/ le moyeu est chauffé ;
2. 2/ sa dilatation thermique augmente le diamètre de l'alésage ;
3. 3/ l'arbre est introduit alors que les surfaces sont séparées ou faiblement chargées ;
4. 4/ le moyeu refroidit et se contracte ;
5. 5/ le jeu se ferme, le contact s'établit puis la pression augmente ;
6. 6/ l'assemblage atteint son état résiduel à la température de service.

La simulation la plus fidèle consisterait donc à reproduire cette histoire thermique et mécanique : température initiale du moyeu, échange thermique avec l'arbre et l'environnement, dilatation, apparition progressive du contact, refroidissement et éventuelle plastification.

Cette stratégie demande toutefois des données supplémentaires : coefficients de dilatation, propriétés dépendantes de la température, conditions d'échange, température et durée de montage, voire évolution du frottement avec l'état des surfaces. Elle augmente aussi le coût de préparation et de résolution du calcul.

Lorsque l'objectif est seulement de connaître la pression et les contraintes après retour à température ambiante, une question naturelle se pose : peut-on remplacer le procédé thermique par une mise en interférence purement mécanique ?

Remplacer le procédé par son effet final

Les deux approches étudiées reposent sur la même simplification : elles ne simulent ni le chauffage ni le refroidissement. Elles imposent directement l'incompatibilité géométrique qui subsiste à la température finale.

Cette réduction est particulièrement attractive dans un contexte industriel :

• le calcul ne nécessite pas de modèle thermique ;
• les seules données de montage indispensables sont les dimensions finales et l'interférence ;
• la pression de contact et les contraintes résiduelles sont obtenues dans un calcul mécanique unique ;
• le modèle est plus rapide à construire, à converger et à exploiter dans une étude paramétrique.

La difficulté est reportée sur l'initialisation du contact. À l'état non déformé, deux solides ne peuvent pas occuper le même espace, alors que le serrage final impose précisément une incompatibilité de dimensions. Les logiciels de calcul proposent donc plusieurs artifices pour introduire cette interférence.

Nous en comparons ici deux.

Approche 1 — Maillage jointif et interférence portée par le contact

Dans le premier modèle, l'arbre et le moyeu sont construits avec le même rayon à l'interface. Leurs surfaces sont géométriquement jointives, mais leurs nœuds restent distincts afin de permettre la création du contact.

Le serrage est introduit à l'aide d'une distance esclave imposée dans la définition du contact. Cette distance épaissit virtuellement la surface du moyeu vers l'arbre. Le solveur détecte alors une pénétration virtuelle et génère les déplacements et la pression nécessaires pour la résorber.

L'interférence est appliquée progressivement :

• elle est nulle au début du calcul ;
• elle atteint 0,015 mm à un premier état destiné à rester élastique ;
• elle augmente ensuite jusqu'à 0,100 mm, niveau auquel une plastification apparaît.

Dans la mise en données code_aster, cette évolution est portée par une fonction positive affectée à DIST_ESCL. L'extrait suivant est volontairement limité aux mots-clés essentiels du contact :

# Les deux surfaces sont géométriquement jointives.
# DIST_ESCL crée progressivement l'interférence virtuelle.
DIST_ES = DEFI_FONCTION(
    NOM_PARA="INST",
    VALE=(
        0.0,  0.000,
        0.15, 0.015,
        1.0,  0.100,
    ),
)

CTAC = DEFI_CONTACT(
    MODELE=MODE,
    FORMULATION="CONTINUE",
    FROTTEMENT="COULOMB",
    ZONE=_F(
        GROUP_MA_MAIT="CONT_ARBRE",
        GROUP_MA_ESCL="CONT_MOYEU",
        ALGO_CONT="STANDARD",
        ALGO_FROT="PENALISATION",
        CONTACT_INIT="NON",
        DIST_ESCL=DIST_ES,
        COULOMB=0.15,
    ),
)

Le signe positif de DIST_ESCL épaissit ici virtuellement la surface esclave vers l'arbre. La valeur finale de la fonction est donc directement égale au serrage radial recherché. CONTACT_INIT="NON" est cohérent avec l'absence de recouvrement géométrique au début du calcul.

Cette approche présente un avantage pratique important : le maillage peut être construit à partir d'une géométrie nominale commune, sans recouvrement initial visible. L'interférence devient un paramètre du calcul et peut être modifiée sans reconstruire le maillage.

Elle demande en contrepartie de maîtriser les conventions de signe, l'orientation des normales et le rôle des surfaces maîtresse et esclave. Une erreur sur l'un de ces choix peut ouvrir le contact au lieu de le fermer ou doubler l'interférence recherchée.

Approche 2 — Interférence portée par la géométrie

Dans le second modèle, l'alésage est directement construit avec un rayon inférieur à celui de l'arbre. Les deux domaines se recouvrent donc de la valeur du serrage final dans la configuration initiale.

Une distance de contact opposée à ce recouvrement est appliquée au début du calcul pour créer un état initial mécaniquement non chargé. Elle est ensuite ramenée progressivement à zéro. À l'état final, la compensation a disparu et l'interférence géométrique complète agit sur le contact.

La définition du contact utilise cette fois une valeur initiale négative. Pour un recouvrement géométrique de 0,100 mm, la rampe s'écrit :

# Le maillage contient déjà un recouvrement radial de 0,100 mm.
# DIST_ESCL le compense au départ, puis libère le serrage.
DIST_ES = DEFI_FONCTION(
    NOM_PARA="INST",
    VALE=(
        0.0,  -0.100,  # interférence effective : 0,000 mm
        0.15, -0.085,  # interférence effective : 0,015 mm
        1.0,   0.000,  # interférence effective : 0,100 mm
    ),
)

CTAC = DEFI_CONTACT(
    MODELE=MODE,
    FORMULATION="CONTINUE",
    FROTTEMENT="COULOMB",
    ZONE=_F(
        GROUP_MA_MAIT="CONT_ARBRE",
        GROUP_MA_ESCL="CONT_MOYEU",
        ALGO_CONT="STANDARD",
        ALGO_FROT="PENALISATION",
        CONTACT_INIT="INTERPENETRE",
        DIST_ESCL=DIST_ES,
        COULOMB=0.15,
    ),
)

L'interférence effectivement traitée par le solveur vaut ici 0,100 mm + DIST_ESCL. Le mot-clé CONTACT_INIT="INTERPENETRE" demande à code_aster de prendre en charge la configuration initialement recouvrante. Lorsque DIST_ESCL atteint zéro, aucune compensation virtuelle ne subsiste : le contact résorbe la totalité de l'interférence portée par le maillage.

Cette représentation est intuitive lorsque les dimensions fabriquées de l'arbre et de l'alésage sont connues : l'interférence est visible dans la géométrie et correspond directement à la différence de rayons.

Elle possède cependant plusieurs contraintes :

• la valeur du serrage doit rester cohérente entre la géométrie et la définition du contact ;
• une modification de l'interférence peut nécessiter de régénérer le maillage ;
• le recouvrement initial ne représente pas une configuration physique admissible, mais un état numérique à corriger ;
• une mauvaise initialisation peut générer immédiatement des efforts très importants et compromettre la convergence.

Un protocole commun pour isoler l'effet de la méthode

Pour que la comparaison soit interprétable, les deux modèles utilisent le même cadre mécanique :

• géométrie 2D axisymétrique ;
• arbre plein de rayon 25 mm ;
• moyeu de rayon extérieur 60 mm et de hauteur 100 mm ;
• petites déformations ;
• contact avec frottement de Coulomb, de coefficient 0,15 ;
• plasticité de von Mises avec écrouissage isotrope linéaire ;
• module de Young de 210 000 MPa ;
• coefficient de Poisson de 0,30 ;
• limite d'élasticité de 300 MPa ;
• module d'écrouissage de 2 000 MPa.

L'arbre est défini comme surface maîtresse et le moyeu comme surface esclave dans les deux calculs. Le même historique d'interférence effective est appliqué. Les résultats sont comparés sur la pression le long de l'interface et sur les contraintes extraites suivant une ligne radiale à $z=20$ mm, à distance de la base bloquée.

Ce protocole ne cherche pas encore à reproduire un assemblage industriel particulier. Il cherche à répondre à une question plus élémentaire : à physique et chargement identiques, les deux encodages numériques du serrage conduisent-ils au même état de contraintes ?

Dans le domaine élastique, les deux approches se superposent

Au premier état étudié, l'interférence radiale effective est de 15 µm. Le comportement reste élastique dans l'ensemble de l'arbre et du moyeu.

Interférence de 15 µm	Modèle jointif	Modèle interpénétré	Écart
Pression moyenne de contact	52,25 MPa	52,55 MPa	0,57 %
Écart maximal ponctuel de pression	—	—	0,30 MPa

La pression est presque uniforme sur la majeure partie de l'interface. Les variations les plus marquées apparaissent près des extrémités, où les conditions aux limites et la fin des surfaces de contact rompent l'idéalisation d'un assemblage infiniment long.

Les profils de contraintes radiale et orthoradiale sur cette ligne sont également très proches. Dans l'arbre, les contraintes radiale et orthoradiale sont pratiquement uniformes et compressives. Dans le moyeu, la compression radiale décroît vers la surface extérieure tandis que la contrainte orthoradiale est maximale près de l'alésage.

À ce niveau de chargement, le choix entre géométrie jointive et géométrie interpénétrée a donc très peu d'influence sur l'état mécanique obtenu.

Après plastification, l'accord reste très bon

L'interférence est ensuite portée à 100 µm. La limite d'élasticité est dépassée dans le moyeu près de l'interface et une zone plastique se développe.

Interférence de 100 µm	Modèle jointif	Modèle interpénétré	Écart
Pression moyenne de contact	256,39 MPa	257,39 MPa	0,39 %
Écart maximal ponctuel de pression	—	—	1,05 MPa

Malgré la non-linéarité du matériau et du contact, les pressions moyennes diffèrent de moins de 1 %. Les champs de contraintes présentent la même organisation générale et la plasticité se développe dans la même région.

La composante V1 des variables internes du comportement VMIS_ISOT_LINE représente la déformation plastique équivalente cumulée. Elle est nulle à 15 µm. À 100 µm, sa valeur maximale est de l'ordre de $2{,}7\times10^{-3}$ et la zone non nulle se concentre au voisinage de l'interface dans le moyeu.

Cette seconde comparaison est plus exigeante que la première : dans un problème élastoplastique, le résultat peut dépendre du trajet de chargement. Le très bon accord obtenu indique que les deux rampes d'interférence produisent ici des histoires mécaniques suffisamment proches pour conduire presque au même état final.

Ce que démontre la comparaison (et ce qu'elle ne démontre pas)

Le résultat principal est la faible sensibilité du calcul à la manière d'introduire l'interférence. Pour ce modèle :

• la pression moyenne varie de moins de 0,6 % entre les deux approches ;
• la conclusion reste vraie avant et après l'apparition de la plasticité ;
• les deux méthodes peuvent être utilisées comme représentations mécaniques du serrage final.

Cette équivalence est précieuse pour l'ingénieur. Elle permet de choisir la stratégie la plus adaptée au processus de modélisation : maillage nominal réutilisable avec l'approche jointive, ou géométrie portant explicitement les cotes fabriquées avec l'approche interpénétrée.

Mais les deux modèles partagent le même raccourci : aucun ne simule le chauffage et le refroidissement. Leur accord constitue une vérification de l'implémentation de l'interférence, pas une validation du procédé de frettage réel.

Cette distinction devient importante dès que l'histoire de montage influence l'état final.

Quand le raccourci mécanique est-il représentatif ?

Dans un comportement purement élastique, avec des températures uniformes et un contact sans évolution complexe, l'état final dépend principalement de l'interférence atteinte. Remplacer le refroidissement par une interférence mécanique est alors généralement une approximation efficace.

La représentativité devient plus incertaine lorsque des phénomènes dépendant du trajet interviennent :

• plasticité pendant le refroidissement : la limite d'élasticité et le module d'écrouissage peuvent dépendre de la température ;
• gradient thermique dans le moyeu : la surface extérieure et l'alésage ne refroidissent pas nécessairement au même rythme ;
• échauffement de l'arbre après insertion : le transfert thermique réduit temporairement le jeu et modifie l'instant d'établissement du contact ;
• glissement avec frottement : la fermeture progressive du contact peut produire une histoire de glissement différente de celle d'une interférence imposée mécaniquement ;
• contraintes résiduelles initiales : fabrication, usinage ou traitements thermiques peuvent modifier l'état avant assemblage ;
• dépendance des propriétés à la température : dilatation, module de Young, limite d'élasticité et frottement ne sont pas nécessairement constants.

Dans ces situations, deux modèles mécaniques peuvent être parfaitement d'accord entre eux tout en s'écartant du procédé réel. La bonne question n'est plus seulement « les deux méthodes donnent-elles le même résultat ? », mais « les phénomènes omis peuvent-ils changer la décision de dimensionnement ? ».

Lamé comme contrôle complémentaire

La solution analytique de Lamé reste utile, mais elle joue ici un rôle secondaire. Elle fournit un contrôle indépendant du niveau de pression et de la forme des profils de contraintes tant que le comportement reste élastique.

La solution de Lamé provient de l’équilibre radial d’un cylindre axisymétrique en élasticité linéaire :

$$\frac{d\sigma_{rr}}{dr}+\frac{\sigma_{rr}-\sigma_{\theta\theta}}{r}=0,$$

qui conduit aux profils $\sigma_{rr}=A-B/r^2$ et $\sigma_{\theta\theta}=A+B/r^2$. Pour un arbre plein soumis à une pression extérieure $p$, on obtient $\sigma_{rr}=\sigma_{\theta\theta}=-p$. Dans le moyeu, avec $\sigma_{rr}(R_a)=-p$ et $\sigma_{rr}(R_e)=0$:

$$\sigma_{rr}=p\frac{R_a^2}{R_e^2-R_a^2}\left(1-\frac{R_e^2}{r^2}\right), \qquad \sigma_{\theta\theta}=p\frac{R_a^2}{R_e^2-R_a^2}\left(1+\frac{R_e^2}{r^2}\right).$$

La pression $p$ est ensuite déterminée en imposant que la dilatation du moyeu et la contraction de l’arbre absorbent ensemble l’interférence radiale $$\delta$. Ces expressions supposent un comportement purement élastique, une géométrie axisymétrique, une pression uniforme suivant l’axe et l’absence d’effets d’extrémité.

Pour une interférence de 15 µm, la variante de Lamé cohérente avec un état proche des contraintes planes prédit une pression de 52,06 MPa. Le modèle jointif donne 52,25 MPa, soit un écart de 0,36 %. La contrainte axiale extraite à $z=20$ mm est faible devant les contraintes radiale et orthoradiale, ce qui confirme la pertinence de cette hypothèse axiale pour le cas étudié.

À 100 µm, la solution entièrement élastique de Lamé ne constitue plus une référence quantitative globale : elle prédit une pression de 347,08 MPa, alors que code_aster donne 256,39 MPa. La plasticité développée dans le moyeu réduit donc la pression de contact et modifie également l'état de contrainte de l'arbre, bien que celui-ci reste élastique.

La variable interne V1 permet de localiser cette perte de validité. Elle devient non nulle entre l'interface et un front plastique situé vers $r=39{,}9$ mm. Dans cette zone, les profils numériques s'écartent nettement de la solution élastique. Au-delà du front plastique, dans la partie extérieure du moyeu restée élastique, les contraintes radiale et orthoradiale rejoignent progressivement les profils de Lamé.

Cette lecture doit rester nuancée : la plasticité est locale, mais son effet sur la pression de contact est global. L'absence de plasticité en un point ne garantit donc pas à elle seule l'égalité avec la solution entièrement élastique. C'est particulièrement visible dans l'arbre, où les contraintes restent uniformes mais suivent la pression de contact réduite par la plastification du moyeu.

Cette comparaison analytique est donc un contrôle supplémentaire, pas le sujet central du benchmark. Elle vérifie que le niveau de pression élastique est cohérent et aide à repérer le moment où une formule élastique cesse d'être adaptée.

Conclusion

Ce cas de frettage montre que deux représentations numériques très différentes de l'interférence peuvent conduire au même état de contraintes.

Avec une interface nominalement jointive, le serrage est porté par la définition du contact. Avec une géométrie interpénétrée, il est porté par les dimensions initiales puis libéré progressivement. Les écarts sur la pression moyenne restent inférieurs à 0,6 %, y compris après l'apparition d'une zone plastique.

Pour une étude centrée sur l'état résiduel à température ambiante, ces deux méthodes constituent donc des raccourcis mécaniques cohérents et efficaces. Le choix peut être guidé par la facilité de paramétrage, la gestion du maillage et la robustesse de l'initialisation du contact.

Leur accord ne remplace toutefois pas l'analyse de représentativité du procédé réel. Un frettage est obtenu par une histoire thermique, et cette histoire peut devenir déterminante lorsque la plasticité, les gradients de température ou le frottement influencent l'état final.

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Calcul réalisé avec code_aster. Pré- et post-traitements réalisables dans SALOME et ParaVis. Les valeurs présentées correspondent à un cas de démonstration et ne constituent pas des données génériques de dimensionnement.